Materi Logika - Operasi Biner

 OPERASI BINER

            Operasi biner adalah operasi yang melibatkan dua unsur. Contoh operasi biner dalam matematika adalah : penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan sebagainya. Khusus dalam logika terdapat 4 macam operasi biner, antara lain :

Ø  Konjungsi

Kata perangkai yaitu “ DAN ”

Simbol yaitu “∧”

Ø  Disjungsi

Kata perangkai yaitu “ ATAU ”

Simbol yaitu “ ∨ ”

Ø  Implikasi

Kata perangkai yaitu “ JIKA ...., MAKA.... ”

Simbol yaitu “ ⇒ ”

Ø  Biimplikasi

Kata perangkai yaitu “ .... JIKA DAN HANYA JIKA.... ”

Simbol yaitu “ ⇔ ”

A.   KONJUNGSI

Salah satu cara untuk menggabungkan pernyataan tunggal sehingga menjadi pernyataan majemuk adalah dengan menggunakan kata “ DAN ”. Pernyataan majemuk dengan kata penghubung “ DAN ” hanya dapat bernilai benar jika pernyataan pertama dan kedua sekaligus benar. Namun, jika salah satu atau kedua pernyataan tunggal salah, maka nilai kebenaran adalah salah.

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk p dan q disebut konjungsi dari p dan q dan dilambangkan dengan “p ∧ q ” (dibaca : p dan q ). Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut :

P	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh :

1.      p : 3 adalah bilang prima ganjil

q : 2 adalah bilangan prima genap

jawaban :

p ∧ q : 3 adalah bilang prima ganjil dan 2 adalah bilangan prima genap

τ(p) = B , τ(q) = B

jadi, τ(p∧q) = B

2.      p: 150 + 500 = 800

q: 4 adalah faktor dari 12

jawaban :

p∧q : 150 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12

τ(p) = S , τ(q) = B

jadi, τ(p∧q) = S

B.   DISJUNGSI

Suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan menggunakan kata “ ATAU ” dinamakan pernyataan disjungsi. Pernyataan majemuk dengan kata penghubung “ ATAU ” hanya bernilai salah jika pernyataan pertama maupun pernyataan kedua sekaligus salah. Namun, jika salah satu atau kedua-duanya benar, maka nilai kebenaran adalah benar.

Disjungsi p ∨   q bernilai benar jika salah satu p atau q, atau keduanya adalah benar. Disjungsi bernilai salah jika keduanya p dan q adalah salah. Kita sarikan definisi disjungsi dengan tabel kebenaran berikut :

P	q	p∨q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh :

1.      p: 3 + 4 = 12

q: dua meter sama dengan 200 cm

jawaban :

p∨q : 3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm

τ(p) = S , τ(q) = B

jadi, τ(p∨q) = B

2.      p: 7 merupakan bilangan prima

q: 7 merupakan bilangan ganjil

jawaban :

p∨q : 7 merupakan bilangan prima atau 7 merupakan bilangan ganjil

τ(p) = B , τ(q) = B

jadi, τ(p∨q) = B

C.   IMPLIKASI

Pernyataan yang mengandung bentuk  “ jika p maka q ” disebut pernyataan implikasi atau  pernyataan kondisional. Misalkan p dan q adalah penyataan. Suatu  implikasi (pernyataan bersyarat) adalah pernyataan mejemuk dengan bentuk dengan “ p ⇒ q ” (dibaca : jika p maka q).

Pernyataan p disebut hipotesis ( ada juga yang menamakan anteseden ) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi ( atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen ). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai bernilai salah, sedangkan untuk kasus lainnya adalah benar. Kita sarikan definisi implikasi dengan tabel kebenaran berikut :

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh :

1.      p : pak Ali adalah seeorang haji

q : pak Ali adalah seorang muslim

jawaban :

p ⇒ q: jika pak Ali adalah seeorang haji maka pak Ali adalah seorang muslim

τ (p) = B , τ(q) = B

jadi, τ(p⇒q) = B

2.      p : 4 + 7 = 10

q : besi adalah benda padat

jawaban :

p ⇒ q : jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat

τ(p) = S , τ(q) = B

jadi, τ(p⇒q) = B

D.   BIIMPLIKASI

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu biimplikasi adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “ p jika dan hanya jika q ” dilambangkan dengan “ p⇔q ”. Biimplikasi p dan q bernilai benar jika keduanya p dan q adalah benar atau jika keduanya p dan q adalah salah. Untuk khusus lainnya adalah salah. Kita sarikan definisi biimplikasi dengan tabel kebenaran berikut :

P	q	p⇔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh :

1.      p : 2 + 5 = 7

q : 7 adalah bilangan genap

jawaban :

p ⇔ q : 2 + 5 = 7 jika dan hanya jika 7 adalah bilangan genap

τ(p) = B , τ(q) = S

jadi, τ(p⇒q) = S

2.      p : dua buah garis saling berpotongan tegak lurus

q : dua garis saling membentuk sudut 90^o

jawaban :

p ⇔ q : dua buah garis saling berpotongan tegak lurusjika dan hanya jikadua garis saling membentuk sudut 90^o

τ (p) = B , τ(q) = B

jadi, τ(p⇒q) = B

REFERENSI

Irma, A. (2015). Pengantar Pendidikan Matematika Himpunan & Logika . Pekanbaru: Kreasi Edukasi.

Kusumah, Y. S. (2008). Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito.

Wibosomo, S. (2008). Matematika Diskrit. Bandung: Graha Ilmu.