KONVERS,INVERS,DAN KONTRAPOSISI
Pada bagian ini kita akan mempelajari nilai
kebenaran konvers,invers dan kontrapositif sebuah pernyataan. Kita perhatikan
sebuah contoh berikut:
Jika Pak Ali seorang haji, maka ia seorang
muslim.
Peryataan tersebut adalah jenis
kondisional(conditional statement) dengan “Pak Ali seorang haji” sebagai antesedenya, dan “ia seorang muslim” sebagai
konsekuennya. Sekarang perhatikan pernyataan-pernyataan di bawah ini:
1. Jika Pak Ali seorang muslim, maka ia seorang
haji
2. Jika pak Ali bukan seorang haji, maka ia bukan
seorang musli
3. Jika pak Ali bukan seorang muslim, maka ia
bukan seorang haji
Pernyataan (1), (2) dan (3) berutrut-turut
dinamakan “konvers”, “invers” dan “kontraposisi” dari pernyataan “jika Pak Ali
seorang haji, maka ia seorang muslim”. Dalam bentuk simpul yang disajikan
dengan tabel kebenaran konvers, invers dan kontraposisi dapat divisuallisasikam
seperti berikut:
Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa nilai
kebenaran pernyataan implikasi sama dengan kontraposisi, sedangkan nilai
kebenaran invers sama dengan konvers. Dengan kata lain kita dapat simpulkan
bahwa:
(i)
p → q = ~q → ~p
(ii)
q → p = ~p → ~q
Konvers, invers, dan kontraposisi ini hanya
bisa diaplikasikan dalam bentuk implikasi. Konvers merupakan pernyataan
implikasi yang dibentuk dari suatu implikasi dengan cara menukar posisi
komponennya, Misal suatu implikasi terdiri dari pernyataan komponen p dan q
yang ditulis sebagai
p → q . konvers dari implikasi tersebut dapat dituliskan sebagai q → p. (dibaca:jika
q maka p)
Dari susunan q → p. Dapat kita
lihat bahwa posisi q dan p saling bertukar sehingga kedudukan keduanya juga
bertukar. Jika pada implikasi p → q maka pernyataan bertindak sebagai sebab
maka pada konvers q → p, pernyataan p
sebagai akibat. Ini berarti untuk memperoleh pernyataan konvers dari pernyataan
yang berbentuk “jika-maka” kita harus
menukar anak kalimat yang mengandung kata “maka” dengan anak kalimat yang
mengandung kata “jika”. Untuk pernyataan yang berbentuk subjek-prediket, kita
tukar prediketdengan subjeknya.
Contoh 1 : Pernyataan yang berbentuk
subjek-predikat.
|
Pernyataan
|
Konvers
|
|
1. Segitiga adalah poligon
2. Bujur sangkar adalah belah ketupat
|
1.
Poligon adalah segitiga
2.
Belah ketupat adalah bujur sangkar
|
Contoh 2 :Pernyataan yang berbentuk jika-maka
|
Pernyataan
|
Konvers
|
|
1.
Jika dua segitiga kongruen, maka kedua segitiga itu sebangun
2.
Jika A adalah bujur sangkar, maka A adalah persegi panjang
|
1.
Jika kedua segitiga sebangun, maka kedua segitiga itu kongruen
2.
Jika A adalah persegi panjang, maka A adalah bujur sangkar
|
Konvers darisebuah pernyataan yang benar tidak perlu benar. Ini disebabkan nilai
kebenaran sebuah pernyataan tidak sama
dengn konversnya. Dengan kata lain sebuah pernyataan tidak ekuivalen logis
dengan konversnya. Lain halnya dengan dengan konversi definisi. Konvers sebuah
definisi selalu benar, seperti
Contoh 1 : Konvers pernyaataan yang bukan
definisi.
Segitiga adalah poligon (benar)
Poligon adalah segitiga ( salah)
Contoh 2 :Konvers pernyataan definisi (benar)
Poligon bersisi tiga adalah segitiga ( salah )
Jawab:Pernyataan tersebut sama dengan “jika
langit masih mendung, maka perjalanan menembus awan tidak akan
segeradilanjutkan”.
Implikasi selanjutnya yang dapat dibentuk dari
suatu implikasi awal adalah invers. Invers adalah implikasi yang bentuk dari
suatu implikasi awal dengan cara menambahkan operator ingkaran atau negasi (~)
pasa masing - masing pernyataan
komponennya.
Atau
inversadalahpernyataandiperolehdenganmembentuksangkalanterhadapantesedendankonsekuennya,sedangkanuntukmemperolehkontraposisi,
kitamenukarnegatifantesedannyadengannegatifkonsekuennya.
Contoh1
: “JikaSyifacantik, makaiamempesona”.
Invers :JikaSyifatidakcantik, makaiatidakmempesona.
Contoh2
:Tuliskan Invers dari : ~p =>
q.
Invers : p => ~q.
Contoh3 : “Jikasenjabelumtiba,
burungcamartidakmelayanglayang”.
Invers
:Jikasenjatelahtiba, burungcamarmelayanglayang.
Invers sebuahpernyataan yang
benartidaktidakselalubenar, lain halnyadengankontraposisipernyataan.
Kontraposisisebuahpernyataanselalubenar, sebabkeduapernyataaninisaling
logically equivalent.
Kontraposisi merupakan gabungan antara konvers
dan invers. Kontraposisi dibentuk dengan menukarkan posisi pernyataan komponen
sekaligus menambahkan operator negasi pada masing-masing komponennya sehinggan
ditulis ~ q → ~ p pada kontra posisi dan kedudukan pernyataan komponen berubah
tetapi nilai kebenarannya ekuivalen dengan implikasi awalnya.
Contoh :
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari
pernyataan berikut “Jika Amir mempunyai
mobil, maka ia orang kaya”
Penyelesaian:
Konvers : Jika Amir orang kaya,
maka ia mempunyai mobil
Invers : Jika Amir tidak
mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya
Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia ia tidak mempunyai
mobil
Jadi dapat disimpulkan :
Konversadalahbalikandaripernyataanimplikasi.
Inversadalahnegasidaripernyataanimplikasi.
Kontraposisiadalahbalikandannegasidaripernyataanimplikasi.
Dari implikasi
p → q (dibaca : jika p maka q) dapatdibuatpernyataan :
- Konvers = q → p
- Invers = ~p → ~q
- Kontraposisi = ~q → ~p
DAFTAR PUSTAKA
1.Johnsonbaugh, Richard. (1997). Matematika
Diskret ( Edisi Bahasa Indonesia ). Jilid 2. Jakarta: PT Prenhallindo
2.Lipschutz, Seymour.(1991) Schaum’s 2000 Solved
Problems in Discrete Mathematics. New York : McGraw-Hill
3.Prijono.(2006). Matematika Diskrit.Edisi
Pertama: Bandung: CV Utomo
Tidak ada komentar:
Posting Komentar