Materi Logika - Nilai Kebenaran

A.    Pernyataan Nilai Kebenaran dan Negasi (Ingkaran)

1.      Pernyataan

Logika proposisi sering juga disebut logika matematika. Logika proposisi bisa juga berisi pernyataan-pernyataan(dapat tunggal maupun gabungan).

Pernyataan adalah kalimat deklarasi yang dinyataan dengan huruf-huruf kecil misalnya: p, q, r. Pernyataan mempunyai sifat dasar yaitu dapat bernilai benar(pernyataan benar) atau bernilai salah(pernyataan salah), tetapi tidak mungkin memiliki sifat kedua-duanya. Pernyataan harus dibedakan dari kalimat biasa. Tidak semua kalimat termasuk pernyataan, kalimat biasa bisa merupakan perintah, pernyataan, kalimat yang kabur pengertiannya, atau kalimat yang mempunyai arti ganda. Pernyataan diartikan sebagai kalimat Matematika tertutup yang benar atau yang salah.

            Contoh Pernyataan:

            p          : semuan kelelawar adalah hewan menyusui

            q          : 5 x 12 = 90

            r           : semua manusia adalah fana

            s           : himpunan kosong merupaakan himpunan bagian dari setiap himpunan

            t           : Jakarta adalah ibukota negara Indonesia

            u          : 4 + 2 = 6

            Contoh bukan Pernyataan:

1.      Pandaikah dia?

2.      Salinlah bacaan ini!

3.      3x – 4 = 5x + 14

4.      3 cos + 4 sin x - 9 = 0, x bilangan real

5.      Dimanakah letak pulau Bali?

6.      2 mencintai 3

2.      Pernyataan Tunggal dan Majemuk

Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan atas pernyataan tungga dan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagainya. Sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal. Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyatan majemuk tersebut tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk.

            Contoh:

a.       Jakarta adalah ibukota negara RI

b.      Merah putih adalahh warna bendera dan burung garuda lambang negara RI

c.       2 adalah bilangan prima genap

d.      Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap.

3.      Nilai Kebenaran

Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan dinamakan “Nilai Kebenaran” dari pernyataan tersebut. Nilai kebenaran pernyataan dinyatakan p diberi lambang  (p). Jika benar maka nilai kebenarannya B, jika salah nilai kebenarannya S. Benar salah suatu pernyataan dapat ditentukan dengan:

a.       Dasar Empiris, yaitu menetukan benar/salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh:

1)      Ibu kota Provinsi Jawa Timur adalah Surabaya(pernyataan benar)

2)      Air adalah benda padat(pernyataan salah)

b.      Dasar tak Empiris, yaitu menentukan benar/salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti/perhitungan dalam matematika.

Contoh:

1)      p          : 3 + 8 = 38, Maka (p) = S

2)       =

3)      Nilai x dalam persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2 (pernyataan benar)

Pembuktian:

3x – 1 = 5                               

3x        = 5 – 1

3x        = 6      

x          =

x          = 2

                                

                                

               

4.      Tabel Kebenaran Pernyataan

a.       Tabel Kebenaran Biasa

Yang dimaksud dengan tabel kebenaran ialah suatu tabel yang memuat nilai kebenaran  pernyataan-pernyataan majemuk. Untuk melengkapi tabel kebenaran pernyataan, kita harus mengetahui dulu berapa banyak pernyataan yang termuat yang berlain dalam tabel itu. Sebagai contoh jika kita mempunyai dua pernyataan yang berlainan, maka kemungkinannya adalah:

1)      Pernyataan pertama benar, pernyataan kedua benar

2)      Pernyataan pertama benar, pernyatan kedua salah

3)      Pernyataan pertama salah, pernyataan kedua benar

4)      Pernyataan pertama salah, pernyataan kedua salah

Pernyataan diatas dapat dilihat dalam tabel berikut ini:

p	q
B B S S	B S B S

                        Pernyataan tersebut terdiri dari dua pernyataan tunggal yang berbeda yakni p dan q. Nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut dinyatakan dengan B dan jika salah dinyatakan dengan S.

b.      Tabel Kebenaran Singkat

Ada cara yang cukup baik untuk membuat tabel kebenaran yang tidak banyak menguras energi kita. Hanya saja dituntut kemahiran dalam cara ini, karena hasil akhir yang diharapkan yakni nilai kebenaran pernyataan majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran yang diwakili sebuah kolom tertentu. Untuk membuat tabel kebenaran yang sederhana kita dapat melakukan langkah sistematis berikut ini:

1)      Kita buat kolom pernyataan tunggal  yang terdiri dari huruf B sebanyak 2 buah, dan huruf S sebanyak 2

2)      Kita buat kolom pernyataan q yang terdiri dari huruf B, S, B, S.

3)      Kita buat kolom yang menghasilkan nilai kebenaran pernyataan p٧ q.

5.      Penghubung Kalimat

Seringkali  beberapa kalimat perlu digabungkan menjadi satu kalimat yang lebih panjang. Dalam logika dikenal 5 buah penghubung:

Arti	Bentuk
Tidak/ Not/ Negasi	Tidak..............
Dan/ And/ Konjungsi	......... dan .........
Atau/ Or/ Disjungsi	........ atau ..........
Implikasi	Jika........ Maka..........
Bi- Implikasi	........... bila dan hanya bila...........

Misalkan:

p    : 4 adalah bilangan genap

q    : 3 adalah bilangan ganjil

maka kalimatnya “4 adalah bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil” dapat dinyatakan dengan simbol p ٨  q

6.      Negasi(Ingkaran)

Negasi adalah sebuah pernyataan yang meniadakan pernyataan yang ada. Pernyataan dapat membentuk pernyataan baru  dengan menambahkan kata “tidak” didepan pernyataan semula atau bila memungkinkan menyisipkan kata “bukan” dalam pernyataan semula. Pernyataan baru yang diperoleh dengan cara tersebut disebut dengan Ingkaran atau Negasi. Ingkaran (negasi) dari p dinotasikan dengan ∼ 𝑝 adalah proposisi tidak p. Ingkaran(negasi) dari p yaitu ∼ 𝑝 bernilai salah jika p benar, bernilai benar jika p salah.

Notasi negasi :   ΄, p͞

Tabel Kebenarannya:                         

p
B	S
S	B

           

p	q
B	B	S
B	S	S
S	B	B
S	S	B

a.       Negasi pernyataan tunggal

Seperti sudah dijelaskan di atas, negasi dari pernyataan tunggal cukup sederhana. Kita tinggal membubuhkan kata tidak atau bukan pada pernyataan asalnya.       

Contoh.  

p: Bandung adalah ibukota provinsi Jawa Barat.

Pernyataan p di atas bernilai benar, karena memang benar Bandung merupakan ibukota dari provinsi Jawa Barat. Negasi dari pernyataan p di atas adalah sebagai berikut. ~p: Bandung bukan ibukota provinsi Jawa Barat.  Negasi pernyataan p di atas yang dinotasikan dengan ~p merupakan pernyataan yang salah.

b.      Negasi pernyataan majemuk

Negasi dari pernyataan majemuk adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya sama dengan negasi dari pernyataan majemuk asalnya.

Contohnya, negasi dari pernyataan majemuk p v q adalah ~p ^ ~q karena nilai kebenaran ~p ^ ~q sama dengan nilai kebenaran ~(p v q) [negasi pernyataan p v q]. Berikut ini adalah negasi dari masing-masing pernyataan majemuk disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

1)      ~(p v q)            ≡ ~p ^ ~q

2)      ~(p ^ q)            ≡ ~p v ~q

3)      ~(p → q)         ≡ p ^ ~q

4)      ~(p↔q)           ≡(p٨~q)٨(q٨~p)

c.          Negasi pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung kuantor, yaitu kuantor universal (semua, setiap) dan kuantor eksistensial (ada, beberapa). Negasi dari pernyataan berkuantor dijelaskan berikut ini.

1)      ~(Semua x adalah y.) ≡ Ada x yang bukan y.

2)      ~(Ada x yang merupakan y.) ≡ Semua x bukan merupakan y.

Contoh Soal:

1)      Negasi dari pernyataan "Jika guru tidak hadir maka semua murid bersuka ria." Jawaban: Pernyataan majemuk di atas bisa ditulis sebagai p → q dengan:

p: Guru tidak hadir.

q: Semua murid bersuka ria.

Negasi dari p → q adalah p ^ ~q atau ditulis ~(p → q) ≡ p ^ ~q Berarti, Negasinya menjadi "Guru tidak hadir tetapi (dan) ada murid yang tidak bersuka ria”.

DAFTAR PUSTAKA

Ade Irma. 2015. Pengantar Dasar Matematika Himpunan dan Logika. Kreasi Edukasi: Pekanbaru.

Drs. Jong Jek Siang, M. Sc. 2002. Matematiika Diskrit dan Aplikasinya. Andi Offset: Yogyakarta.

Samuel Wibisono. 2008. Matematika Diskrit. Graha Ilmu: Yogyakarta.

Drs. Yayas Kusuma.1986. Logika Matematika Elementea. Tarsito: Bandung.